48. évfolyam (2001) 5. szám

Az információtudomány történeti háttere II.

Horváth Péter

A sorozatban az információtudomány fogalmait, megjelenésüket és kialakulásukat, összefonódásaikat kívánjuk bemutatni történeti fejlődésük keretében. A kultúrtörténeti tabló felvázolása mellett célunk egy olyan modell bemutatása is, amely egységes keretbe foglalja az információról alkotott képünket. A második részben a kognitív teljesítmények létrejöttének feltételeit és körülményeit, az archaikus gondolkodás jellemzőit és a számolás kialakulását vizsgáljuk meg.

A kognitív teljesítmények kialakulása;
az archaikus emberi gondolkodás

"A kogníciót, az intellektuális teljesítményeket mindazon szellemi képességek összességének tekinthetjük, amelynek révén az elme feldolgozza a külvilágról felfogott bemeneti jeleket és meghatározza a kimenetet, azaz a külvilágban elvégzendő cselekedeteket. Olyan funkciókat számítunk ebbe a körbe, mint az észlelés, az emlékezés, a tanulás, az érvelés, és így tovább. Tehát észlelünk valamit, tároljuk a memóriánkban, visszakeressük a vonatkozó egyéb ismereteket, az egészet feldolgozzuk, következtetéseket vonunk le, megtanulunk valamit belőle, ezt ismét tároljuk az emlékezetünkben, és felhasználjuk annak eldöntésére, mi legyen a következő cselekedetünk. Mindez a kogníció része." [Scaruffi, ford. H. P.]

Az ember valószínűleg a kezdetektől fogva vizsgálni kívánta saját szellemi képességeinek tulajdonságait, eredetét, működési módját, törvényeit, és nem véletlen, hogy ma is a megismeréstudomány az egyik legfontosabb területe a kutatásnak. Lehet-e az intelligencia fejlődése mögött megtalálni valamilyen működési elvet? Mi a motivációs háttér? Mi volt előbb: a munkavégzés, a kommunikáció, a csoportkooperáció? Mi az ösztönös, és mi a tanult ismeret? Teljes biztonsággal máig megválaszolatlan kérdések. Az ember történetének kezdeti szakaszairól kevés a megmaradt emlék, ezért a kutatónak gyakran a feltevések birodalmában kell járnia, ami kellő alázatra kell, hogy intse. Több, a kérdéssel foglalkozó szerző próbál meg valamilyen rendezőelvet felállítani, de számunkra az látszik célravezetőnek - a mindenütt felbukkanó kölcsönhatások, visszacsatolások miatt -, ha kitartunk amellett, hogy a különböző tényezők együtt, egymásra is hatva alakították a kognitív teljesítményeket. Elöljáróban példaként idézzük, hogy az "emlékezet funkciója semmiképp sem puszta passzív információfelvétel. Ellenkezőleg: aktívan irányítja és vezérli az információfelvételt, és a motivációs hatás nyomására annak felkutatására sarkall, hogy mi lehet még hasznos az adott szituációban jelentkező probléma megoldására; a használhatatlan információt elveti." [Klix, p. 133-134.]

Nincs lehetőség az antropogenezis egyes fázisaira kitérni, ezért csupán néhány változásról teszünk említést: motivációkról, következményeikről és ezek egymáshoz való kapcsolatairól.

Az ember és a hominidák közötti néhány különbség

Az antropogenetika kutatói szerint közel 12 millió év alatt zajlott le az első hominida, a ramapithekus és a homo erectus, az első rendszeres eszközhasználó közötti átmenet. A különbségek és hátterük vizsgálatára az tűnik a legalkalmasabbnak, ha az alapvető biológiai ösztönök, a faj- és egyedfenntartás változásaiból indulunk ki. Az említett periódusban az utódkihordás ideje a hét hónapról kilenc hónapra nő, ez alatt a két hónap alatt az idegsejtek száma 231-ről 239-re nő a méhen belül [Klix, p. 135.], ami lényegesen megnöveli az újszülött agyi kapacitásait. Ha 256-szoros idegsejtszám-növekedés még nem látszik is látványosan többnek, a lehetséges kapcsolatok számának kombinatorikus növekedése már megteremti a memória fejlődésének fizikai-biológiai alapjait. A korábbiak szerint a memória teszi lehetségessé a tanulást, és ennek következménye a szigorú biológiai, genetikus viselkedés-meghatározottságtól való fokozatos elszakadás.

Ez az eloldódás megjelenik más funkciókban is, így a szexuális viselkedésben és a kommunikációban. A periodicitástól független szexuális hajlandóság és a vizuálistól a hang felé eltolódó kommunikáció (kialakul a nyelv, amely a gondolathoz kapcsolódik) egyaránt utat nyit a közösségi léthez, a családhoz és a csoporthoz. Megjegyezzük, hogy az elmúlt évtizedekben nagy nyelvészeti vita folyt és folyik máig arról, hogy a nyelv ösztön vagy tanult funkció [lásd Pinker]. Az biztosnak látszik, hogy kialakulásának anatómiai feltétele vagy oka is van. A majmok állcsontjának belső-felső része mindig sima, míg az ember állcsontján kis dudorok vannak, amelyhez a nyelvet mozgató két izompár csatlakozik. Ez a tagolt beszéd biztos anatómiai bizonyítéka. [Fényes, p. 14-15.]

A kollektív cselekvés nagyobb esélyt ad a táplálékszerzésre és biztonságra, tehát az egyedfenntartásra. Ez is tapasztalattá válik a közösségen belül. A család és a csoport-együttműködés viszont csak gazdag kommunikációval lehetséges. A kommunikáció ismeret nélkül üres formaság, ugyanakkor az ismeret közlési lehetőség nélkül frusztrálólag hat az egyénre. A közösségi lét elvezet a munkamegosztáshoz.

Az idegrendszer kapacitásának bővülése további funkciókat is megerősített. Ezek közül kettőt említünk meg: a lényegkiemelést és az asszociációt, az emlékezeti elemek összekapcsolódását. Az idegélettani kutatás már évtizedekkel ezelőtt kimutatta, hogy az idegrendszer - miközben folyamatosan gyűjti az információkat - véges áteresztési és feldolgozási kapacitásai miatt ki is szűri egy részüket. Berlyne ennek két eszközét említi: a figyelmet és az absztrakciót [p. 43-46.]. Az érzékszervek fontos feladata a szenzoros benyomások tömegéből kiemelni meghatározott jegyeket. Ezek rögzülnek az emlékezetben. A válogatás egyben lényegkiemelés; ez teszi lehetővé az osztályozó megismerést. Az emlékezetben a jegyek összekapcsolásával, asszociálásával születik a fogalom, szemléleti tulajdonság esetén a primer fogalom. Pl. a ragadozómadár felismerésére elegendő a széles szárnyak, és a magasban végzett lassú körözés jegyeinek észlelése. (Közelebbről nézve nyilván már több, pontosabb felismerést adó jellemzőt is ismerünk.)

Az észlelt világot megragadó kogníció;
a primer fogalmak kialakulása

A jegyek összekapcsolódása jegyek halmazává alkotja a fogalmi struktúrákat, és ez az osztályozó megismerés alapja. Nem megnevezve még, de az ember - észlelve az invariáns tulajdonságokat - így hoz létre ekvivalenciaosztályokat a döntési válaszreakciót tekintve. Megjegyezzük, hogy más összefüggésben az észlelt tárgyak más jellemzői lehetnek fontosak, így más osztály tagjaként vehetjük őket számba. (A virág lényeges tulajdonságai mások, ha drogként vagy dísznövényként, ha termelési vagy ajándékozási szempontból vizsgáljuk.)

A szavak azért jelentősek kognitív szempontból, mert a fogalmi struktúrákat nevezik meg. Ezt egyfajta kódolásnak is nevezhetjük, és a szavakban felismerhetővé válik a valóság tagolódása. A nyelvi megnevezések rendszerében tükröződik a nyelvi közösség mentalitása is. Ez már az archaikus (crô-magnoni) ember gondolkozásának osztályozási rendszereiben is megjelenik. Egy példa a navahó indiánok osztályozási rendszerére:
- az élőlények /beszélők-nem beszélők/,
- a nem beszélők /állatok-növények/,
- az állatok /futók-repülők-mászók, továbbá földön vagy vízen utazók, nappal vagy éjjel utazók/.
A megnevezés mellett regisztrálják az elejtés és a megfogás módját is. [Klix, p. 166.]

A jegyek, a megnevezendő dolgok differenciálódása folyamatos. Indián törzseknél az öregek tanácsa tesz javaslatot az ismeretlen tárgy megnevezésére. Elindul egy - az idegélettani folyamaton túlmutató - absztrakciós folyamat. A nyelvész szempontjából az absztrakció a közvetlenül nem érzékelhető dolgok megnevezése általánosító fogalomalkotás útján. Ezt ismét osztályozás követi, követheti. Az alapkategóriák az irány, a tér, az idő (az egy jellemzővel, saját magukkal jellemezhető fogalmak).

A konkrét és az absztrakt láncszerűen kapcsolódnak egymáshoz. Az absztrakt fogalom, amint alkalmazása megszokottá válik a tudatban, "visszakonkretizálódik". Egy későbbi fokon az absztrakció is tudatosul: így lesz később a számfogalomból absztrakt matematika [Fényes, p. 18.]. A társas létben a nyelv nemcsak az emberi gondolkodást teszi lehetővé, hanem a kulturális átörökítést, az ismeretek felhalmozását is. Ennek eredménye lesz többek között a társadalmi "absztrakció", a konvenció, az ideológia [Fényes, p. 17.], vagy az ideák, azaz szervezett gondolatok világa. [Csányi, p. 171.]

A teljesítményorientált gondolkozás kialakulásának motivációs alapjait keresve, lényegesnek tekinthetjük a döntési bizonytalanságot. [Klix, p. 162-164.] A korai ember létfeltételei szerények, és mindennapjai teli vannak veszéllyel: a sikertelen vadászat, a ragadozó állatok, járványok és betegségek, az időjárás viszontagságai, a közösség szempontjából jelentős személyek halála mind-mind gyengítik a biztonságot. A döntési bizonytalanságot csökkenti a jövő előrejelezhetősége, ezért nagy szociális értéke van a jövő eseményeivel számolni képes tudásnak. Ez motiválja kognitív stratégiák kialakulását. Az előrejelzés az észlelet alapján történhet, ezért meg kell figyelni a lényeges összefüggéseket. A térbeli és időbeli összefüggések, relációk, asszociációk emlékezetben tartása, majd regisztrációja lehetővé teszi a folyamat szabályszerűségeinek felismerését. A kérdéssel foglalkozók többnyire többféle stratégiát jelölnek meg vagy érintenek ezzel kapcsolatban. [Klix, p. 163-164.; Fényes, p. 20. és másutt; Simonyi, p. 32.]

A tér- és időbeli összefüggések és feltételeik megfigyelése

Egy jellemző példa a sok említhető közül: egy indián törzs tagjai az elejtett bölény magzatának fejlettségéből következtetnek a tavasz közeledtére. A kettő között nyilván nincs oksági kapcsolat, az egybeesés mégis szabályszerű. Egy más jellegű, az irodalomban ismert példa Marshak feltételezése egy kőkorszaki eredetű csontba vésett jelek jelentéséről. [Klix, p. 153.; Simonyi, p. 32.]

Az erősen kritizált elemzés azt állítja, hogy az 1. ábrán látható, agancsból készült ovális csontra vésett 69 jel a Hold mozgása és fázisai szisztematikus lejegyzésének tekinthető. Más értelmezések csak egy vadászat eredményeit vélik látni a képen. Az azonban joggal feltételezhető, hogy itt egy folyamat időbeli leírását láthatjuk egyfajta koordináta-rendszerben. Ez az egyik legkorábbi rögzített, tárolt információ. Jogos azonban a feltevés, hogy favesszőkre, botokra sokkal korábban is róttak feljegyzéseket, adatokat.

A 30 000 évvel ezelőtti periódus az őskőkor vége, a neolitikus forradalom időszaka. A crô-magnoni korszak végső fázisában gyors változások zajlottak mind a technika fejlődésében, mind a munkamegosztásban. Bár egyöntetű az a felfogás, hogy a szerszámkészítés és a munkamegosztás döntő hatást gyakorolt a kognitív teljesítmények ugrásszerű fejlődésére, e hatás bemutatására nincs lehetőségünk kitérni. Itt is hangsúlyozzuk azonban, hogy mindkettő a gondolkozási és élettani folyamatokkal párhuzamosan és azokkal kölcsönhatásban fejlődött.

A kezdet irodalmi megfogalmazását adja Asimov [p. 38-39.]: "Ahhoz, hogy az ember vigye valamire,… ahhoz, hogy elméjét így kicsiszolja, számolnia és mérnie kellett … meg kellett látnia valami törvényszerűséget, amelyet felfoghatott - valamit, ami elég rendszeres volt ahhoz, hogy lehetővé tegye a jövő előrelátását, az értelem hatalmának felismerését. Ennek egyik egyszerű módja volt a törvényszerűség felfedezése a természet valamely állandó, ciklikus ritmusában." Asimov szerint a nappal és éjszaka változása túl rövid, az éves ciklus túl hosszú volt a megfigyelésre. "Nem meglepő tehát, hogy a világegyetem megértésére irányuló korai erőfeszítések a Hold körül összpontosultak. Stonehenge ősi obszervatórium lehetett, … Alapos okunk van tehát rá, hogy elhiggyük: az embert először a Hold nyomon követésének igénye taszította a számolás és az általánosítás útjára; a Hold miatt születtek meg a naptárak; belőlük született meg a matematika és a csillagászat (meg a vallás is); belőlük pedig minden egyéb." Mint említettük, ez szépirodalom, de a mérést és számolást illetően egybevág a szakemberek véleményével.

Analogikus gondolkodás a hasonlóságok alapján és analogikus cselekvés, utánzás, imitáció

A hasonló jelenségek felfedezése, rögzítése és az ebből eredő cselekvés az asszociációk képzésének fontos módszere. Ez jelentkezhet mind a felismerés, mind a cselekvés oldalán. "Belső-Afrika egy pigmeus törzsénél figyelték meg, hogy a foghoz hasonlatos formája miatt az anyarozst használják a kígyómarás ellenszeréül. Mindazt, ami keserű és csípős, méregnek tartják." [Klix, p. 163.] Az analógia, a hasonlóságok felismerése - függetlenül attól, hogy igaz-e vagy sem - ugyanúgy az asszociációs teljesítményre utal, mint korábban a fogalmi struktúrák kialakulásakor. Ebbe a kategóriába tartozik a varázslás, a mágikus cselekvés, amellyel a jövő kikényszeríthető, s áldozattal az istenség lekenyerezhető. Ilyen a névadás is (Sasszem, Fürge menyét), amellyel a nevezettek tulajdonságai átvihetők a név viselőjére.

Az imitációra szép példát olvashatunk Frobeniustól, aki leírja esetét néhány pigmeussal 1906-ban. [Frobenius, p. 317-319.] A hozzájuk csatlakozott vadászokat megkérte, hogy lőjenek vacsorára antilopot. Azok azt mondták, hogy csak másnap lehetséges, mert nem készítették elő a vadászatot. Az etnológus másnap megleste az előkészületeket: egyikük pontban napkeltekor a homokba rajzolt antilop nyakába nyilat lőtt, miközben a többiek varázsszavakat mormoltak. Nemsokára meg is érkeztek az elejtett antiloppal.

Sok európai és afrikai szikla- és barlangrajzon látható megnyilazott állat. Feltételezhető, hogy hasonló imitáció emlékeit láthatjuk. A mitikus hiedelmeket nem szabad lebecsülni. Egyrészt a kialakított meggyőződés révén valóban csökkentik a bizonytalanság miatti félelmet, másrészt - amint Fényes és Klix egyaránt hangsúlyozza - a természeti ember a mítoszban is ugyanazt az oksági elvet alkalmazza, mint a mai természettudós, csak más világkép alapján keresik az okot (Fényes), vagy másképp töltik ki a hiányzó ismeretrészeket (Klix). A releváns jegyek ugyan az észlelésből származnak, de ez még csak a felszín és korlát is egyben. Az elmélyedést a mítosz szolgálja (ez a racionális mag, betömi a megismerés hiányait), ami már a ha - akkor oksági viszony kialakulását segíti. Ez többnyire nem hasonlóságon alapul, sokkal inkább egy szimbolikus, a jelenség mögött rejlő, az észleléssel nem megragadható oksági mechanizmus. (Pl. az orvoslás sikerek és kudarcok sorozata; utóbbiakra ad magyarázatot a démonok befolyása.)

A gondolkodási stratégia azonban fontos: mindennek van oka, magyarázata. Fényes Kaj Birket-Smith könyvéből idézi [p. 32-33.] egy eszkimó magyarázatát a jegesmedve-vadászat sikertelenségéről: "Nem jött medve, mert nincsen jég, és nincsen jég, mert túl erős a szél, a szél pedig azért erős, mert vétkeztünk a hatalmak ellen." Ez nem illogikus, mondja a szerző, sőt tökéletesen logikus, csak az oksági viszonyokat ítéli meg helytelenül az eszkimó.

Az oksági összefüggés felismerése az egyénben képződik: észleli, hogy saját cselekedeteinek van hatása. Felismerése a világ megragadására szolgál, ez lesz a kognitív döntéshozatalnak és világszemléletnek egyik első és elvileg igazolható alapszabálya. Így áll elő az osztályozás-döntés-viselkedés (cselekvés) összefüggés az állatokénál magasabb szinten.

A matematikai gondolkodás keletkezéstörténete

A mennyiségek kifejezésére alkalmas eszközök kifejlődése

Bármennyire is csábító a feltevés, a számfogalom kialakulásának folyamata nem az ujjakon való számolással kezdődött. A kiindulópontot a mennyiség szelektív érzékelése jelentette. Ennek is megvoltak az állatvilágba visszanyúló előzményei. Az állatok is képesek egyenlő vagy hasonló dolgok különböző számát felismerni. Feltételezhetően ez az idegrendszer veleszületett képessége.

A jelenségek felszíne mögé a kognitív folyamatok segítségével lehet eljutni. A következő lépés az, amikor az észlelés számára teljesen különböző dolgok között felismerték az azonos típust képviselő invariáns tulajdonságokat. A halmaz és az osztályozás fogalmai azonos gyökerűek. Névvel még nem illetett alkalmazásuk is magában hordja a naiv halmazelmélet további fogalmainak felismerését: a primitív ember már az élelmiszer-termelő gazdaság előtt jártas olyan egyszerű logikai formák használatában, mint a rendezés és a véges halmazok egymásra való leképezése (ami a mérés és számolás alapfeltétele). Már alkalmazza az oksági elvet. Ezeken a fázisokon halad át a mai kisgyermek is szellemi fejlődése során. Ezt több tanulmányában részletesen leírja Piaget [1969].

A rendezés adott dolgok összességén észlelt vagy létrehozott egyfajta struktúra. Természetesen sokféle struktúra létezhet, de ezek között a rendezésnek kiemelt szerepe van: a (teljes) rendezettséget az jellemzi, hogy az elemek egymással az előtte vagy azonosan, vagy utána viszonyban állnak egymással. A besorolás szempontja sokféle lehet: idő, hely, név, érték stb.

A leképezés fogalma is kötődik az osztályozáshoz. Itt egy halmaz elemeit egyértelműen hozzárendeljük egy másik halmaz elemeihez, megfeleltetjük egy másik halmaz elemeinek. (Amikor az archaikus ember minden egyes állatot besorol például a veszedelmes-nem veszedelmes kategóriák egyikébe, már egy halmazt képez le egy másikra. Később ugyanezt teszi a pásztor a rábízott állatok és a tulajdonosok halmazaival.) Ezt a "naiv halmaztant" azonban egy idő múlva nem lehetett az igényeknek megfelelően továbbfejleszteni. A munkamegosztás bővülése, a termelt javak cseréje, a kereskedés, majd a terméknyilvántartás, raktározás, szerződések, a tulajdon- és birtokviszonyok, a tartozik és követel bürokratikus világának kialakulása olyan lényeges és tartós társadalmi szükségletet jelentett, amely elvezetett a számolás és mérés fogalomrendszerének és műveleti módszereinek kialakulásához. Ehhez a kognitív teljesítményhez vezető utat Kr. e. 10 000 és 200 között teszik meg, döntően az intézményes közösségi kereteket kialakító közel-keleti városállamokban. Ez nem zárja ki, hogy más birodalmakban is lezajlottak hasonló folyamatok, de ezekről lényegesen kevesebbet tudunk.

Egy második folyamatnak, a gazdasági szükséglettel azonos fontosságú és azzal egybefonódó kognitív vonulatnak tekinthetjük azt, hogy megkezdődött a módszeres gondolkodás: a megfigyelés, próbálkozás, összehasonlítás, emlékezetbe helyezés mint tudatos cselekvés. A természet megfigyelése, a szabályszerűen visszatérő események rögzítése teszi lehetővé a jövő eseményeinek előrejelzését. Ez mind az egyén, mind a közösség számára fontos. Az előrejelzéshez természetesen szükséges az összefüggések megragadása is. Itt is fontos a számrendszerek mellett a műveletek felismerése.

Számfogalom, számnevek, számrendszer

A számfogalom és a számírás kifejlődésének első szakaszairól nagyon kevés a rögzített ismeretanyag, ezért főleg néprajzi és nyelvészeti adatokra támaszkodhatnunk. Ilyen körülmények között eltérő leírások jöttek létre, de a szakirodalom néhány fontos pontban megegyezik.

Nem ugyanaz az egyforma elemek halmazának nagyságáról felismert általános benyomás (egy-kevés-sok), illetve a különböző, egy halmazban lévő elemek számának felismerése. Az általános sokaságélménynek fel kellett bontódnia ahhoz, hogy az egyes elemeket meg lehessen nevezni. (Először a szenzoros szelektivitás alakult ki: a pásztorok felismerik, ha hiányzik egy kutya vagy jószág.)

A számsor elején álló sorszámnevek elsődlegességét - azaz a csak néhány elemből álló halmaz rendezését - többek szerint nyelvi jelenségek bizonyítják. [Fényes, p. 42-44.; Filep-Bereznai, p. 16-18.; Klix, p. 220-222.] A legtöbb nyelvben az első sorszámnevek és tőszámnevek eltérő eredetre utalnak, és kezdetben a sorszámnevek is rendezést jelöltek.

A magyarban: első-egy a közös 'e' mutató névmásból még rokon. Ez és a másik (második) már rendezés eredménye, szemben a kettővel. Az indoeurópai nyelvekben a pro (előtt, elől), görögül protosz, latinul pro, prae a primus, a német vor (előtt), az angol fore (elől, legfelső foka forest) a first őse.

A latin secundus (sequi = követni), a görög deuterosz (deuomai = lemarad) eredete hasonló. Ilyen jelenség az oroszban: pervij-vtaroj, ogyin-dva. Valószínűsíthető a latin trans (túl) és tertius (harmadik), tres (három) rokonsága is.

A számnevek kialakulásának kezdetén a szám nem mint absztrakt fogalom jelent meg, csak mint az adott mennyiség jelzője (két kutya, akár a szép kutya). Hosszú folyamat volt, amíg a számot elvonatkoztatták a konkrét dologtól. A sumeroknak külön voltak számláló- és mérőszámaik, ezek képírása és olvasata is különbözött. A görög és más nyelvekben is van az egyes és többes számú mellett kettes ragozás. A tsimshi nyelvben különböző tárgyak megszámolására hatféle számsor használatos. Hasonló jelenséget másutt is megfigyeltek őskori körülmények között élő csoportok között. A kolumbiai indiánok, a Fidzsi-szigeteki őslakók más szót használnak más tárgyak mennyiségeire. A Fidzsi-szigeteken tíz csónak 'bola', tíz kókuszdió 'koro'. Az észak-amerikai indiánok másként nevezik a tíz csónakot, ha harcba indul, mint amikor eleséget szállít. A mai nyelvekben is megtalálhatók a melléknévi használat maradványai. A magyarban a melléknévként használt kettő a tárgyhoz rögzült: énekduett, cipőpár, ikergyerek, dupla kávé (de pl. a házasduett nem használatos).

A tőszámnevek kialakulása - mondhatnánk - más tőről fakadt, mint a sorszámneveké. Itt a - párképzésnek is nevezett - másik említett reláció, az egy az egy-hez leképezés speciális formája játszott szerepet.

Egyszerűbb esetben ténylegesen párképzés volt a gyakorlat. Filep és Bereznai említenek olyan feltevéseket, hogy ezt már a tűz felfedezése előtt ismerhették. Volt olyan számolni nem tudó törzs, ahol az a törzsfőnök, akinek több kecskéje van, és páronként leszámolják a versenytársak állatait. Piaget vizsgálta és elemezte a sorszámnevek és tőszámnevek kialakulásának folyamatát kisgyermekekben. Azt találta, hogy a fejlődés három szakaszra tagolható: az elsőben még nem létezik sem számszerű értékelés, sem sorszámozás, csak globális becslés, és az ilyen vagy olyan, a kicsi és nagy megkülönböztetése; a másodikban a gyerek képessé válik a helyes sorba rendezésre és egyenlő halmazok összeállítására; és végül a harmadikban megtörténik a kétféle szám koordinációja, annak megértése, hogy "a véges számok tehát egyszerre tőszámok és sorszámok is, és ez magának a számnak a természetéből következik; a szám természete ugyanis az, hogy azonos műveleti egészbe foglalt osztályoknak és aszimmetrikus viszonyoknak a rendszere." [Piaget, p. 267-274.]

A számlálás jelzésére is maradt fenn igen korai "dokumentum". A 2. ábrán 25 000-30 000 éves, fiatal farkas-lábszárcsontokra vésett, részben ötös rovátkacsoportok láthatók.

Feltételeznünk kell, hogy a rovás fára, így romlékonyabb hordozóra is történt, ezért a - minden, az e témával foglalkozó írásban megemlített - csontmaradvány nem lehetett egyedi eset. A leképezés eszköze nem szükség szerint rovás; ne feledkezzünk meg az indiánok adatrögzítési technikájáról, a zsinórokon elhelyezett csomók rendszeréről sem. Egészen egyedi megoldásokra is van példa. A darabszámok egyéniesítését és egyben szemléletességét példázza a pápua testszámjelölés (kisujjtól a bal fülig 14 szám). Ez az írás-piktográfiának megfelelő szint, és zsákutcának tekinthető.

Sokkal nagyobb régészeti forrásanyagra támaszkodó érvelést ismertet Kalla Gábor [p. 37.]. Oppenheim, Amiet és Schmandt-Besserat eredményeire hivatkozva írja, hogy a mezopotámiai kultúrákban már Kr. e. 8000-től használtak kis kavicsokat és agyagból készült kisméretű alakzatokat (ahogyan a szerzők nevezik, 'calculus'-okat vagy számolóköveket, másképp 'token'-eket), amelyek száma mennyiséget, alakja konkrét dolgokat jelenthetett, sőt az 5. évezred közepétől esetenként mesterséges jelzésekkel is el voltak látva. Függetlenül attól a vitától, hogy ezek a calculusok mennyire tekinthetők az írás kialakulása előzményeinek, az biztosnak látszik, hogy kiterjedt nyilvántartási rendszerek részei voltak.

Fényes elemzése szerint a "természeti ember viszont (szemben a mai gyerekkel - H. P.) csak a leképezés műveletét kapta kulturális örökségként, így ennek alkalmazásával kellett magán segítenie." [I. m. p. 45.] "A konvencionális leképezés egyik alkalmazása az ún. indexhalmazra való leképezés. Indexhalmaz lehet bármely rendezett halmaz, ha elegendő eleme van, és könnyen, áttekinthetően rendelkezésünkre áll. … Valamilyen bonyolult szerkezetű és nehezen áttekinthető halmazt áttekinthetővé tehetünk, ha egy jól ismert rendezett indexhalmazra kölcsönös egyértelműséggel leképezzük." Minden leltározás ilyen, mint a farkascsont rovátkái is. A könyvtárosok számára is ismerős lehet ez a megfogalmazás. De a nyelv is példa lehet - írja Fényes (Pavlov után): "A második jelzőrendszer mint jelzések jelzése szintén indexhalmaz: a szavak az érzékletek, képzetek 'indexei', leltári jegyei." [I. m. p. 41.]

Más gondolkozásbéli teljesítmény azonban a halmaz számosságának rögzítése (a leképezés), és más, amikor minden egyes mennyiségre különálló megjelölést kell találni. Ez utóbbihoz több ezer év kellett. Tetszőleges számú mennyiséget kellett kifejezni, könnyen elsajátítható és felhasználható módon. Az egyedi megnevezések és jelek kialakítása lépésről lépésre történt. Az első számneveket többnyire egyedi dolgokkal és párosokkal jelölik. Az óind nyelvben: egy - hold, kettő - nap/éjszaka/, az ósumerben: egy - férfi, kettő - nő. Ezután közvetlenül a sok következik. Egyiptomban: több ezer - az ezer jele háromszor. Kínában: az erdő jele három fa. [Klix, p. 219-220.]

Nagyobb lépés a három felfedezése. Ezzel ugyanis megszűnt az egy és a kettő kiemelt szerepe. Az öt a kéz ujjai miatt fontos határ. A szemléletesség miatt ez hamar csoportosítási egységgé válhatott. A nagyobb mennyiségekkel való számoláshoz a számok megjelölése mellett egy további lépésre, a számrendszer kialakítására volt szükség, amelyet a csoportosítás és a helyértékrendszer határoz meg.

A kezdetleges számrendszerek a kettőre, majd háromra épültek: néhány számjegy kialakítása és megnevezése után ezekből alkotják a többit. Sokak által idézett példa a kamilaroi ausztrál törzs számrendszere: 1 = mal, 2 = bulan, 3 = guliba, 4 = bulan-bulan, 5 = bulan-guliba stb. Ezek sohasem lépik át a hatot. A szükségleteknek megfelelően később sokféle, különböző alapszámú csoportosítás alakult ki. Öt, hat, hét, tíz, tizenkettő és húsz a gyakoribb alapszámok. A hét sok helyütt szakrális jelentőségű, pl. az ószövetségben. Több mai afrikai törzs is ilyennek tekinti. Minden számrendszer tartalmazza a különböző alapszámok nyomait. Az eredeti csoportosítás képezi a későbbi tagolás alapját.

A 3. ábra Menninger nyomán óindiai khatoszti számjegyeket mutat 4-es 10-es, 20-as csoportosítással a Kr. e. 2. századból.

Klix

Sok mai számrendszerben is felismerhetőek a korábbi határok. (A magyarban kihalóban van a tucat.) A többek által felsorolt példákból mi is bemutatunk néhányat.

Az angol score = rovátka, ez volt a 20 megnevezése az óangolban. A skótban, írben a kelta eredetű 20 = fiche, a 40 = da fiche, a 60 = tri fiche, 80 = cithre fiche. A franciában a konstruktív számlálás nyolcvannál megszakad: a quatre-vingt(s) négy húszast jelent. Oroszban 40 = szorok: a bőrre (serkr) 2×20-as kötegben alkudtak. A maják, mexikóiak 20-as rendszerben számolnak. Nagy Károly 1 font ezüstből veretett 20 szolidust minden 12 dénárhoz. Anglia két évtizede állt csak át az 1 font = 20 shilling = 20×12 pennyről a decimális rendszerre. De említhetjük mai számolási gyakorlatunkat is, ami az elektronikus számológépek korában is megmaradt: //// = 5.

A csoportosítás mint kognitív technika általánosítható volt: nagyobb csoportokat is egy jellel lehetett jelölni. Egyszerű jelek egyre bonyolultabb (nagyobb) kategóriákat jelöltek. Ezeket ekkor még egyszerűen kellett megnevezni. Az általános nyelvi fogalmak jelölésekor már bevált kognitív folyamat, az absztrakt sűrítés alakítja ki a helyi vagy pozíciós értékrendszert. A megnevezés vagy a folyamatos leírás sorrendjének felel meg az adott jel hierarchikus foka: 412 = négy (százas) egy (tízes) két (egyes). Ez már majdnem a végleges állapot a legelőnyösebb leíráshoz. Az utolsó lépés a nulla bevezetése, amelyet az indiaiak használtak először. Az arab számrendszer részeként került át Európába, de itt csak a 15-16. században honosodott meg, ami azt mutatja, hogy ennek felismeréséhez is kognitív teljesítmény kellett.

Számítási műveletek

Az időszámításunk előtti városállamok és birodalmak Egyiptomtól Mezopotámián át Kínáig nagy létszámú lakosságot és termelési szervezeteket hoztak létre, amelyeknek adminisztratív-gazdasági irányítása és szakembereinek technikai feladatai egyaránt megkövetelték számrendszereik használatát a listázó, táblázatos nyilvántartásokon túl is. A számítási műveletek egy része mindössze gyakorlati célokat szolgált (például Egyiptomban), és ennél nem is mentek tovább. Nem a számolás maga volt a fontos, hanem hogy képesek voltak bizonyos feladatokat kiszámolni (a magtár tartalma, készletszükséglet, az építkezéshez szükséges faanyag, a földek felmérése stb.). A legfontosabbként számon tartott, innen származó dokumentum a Rhind-papirusz (lejegyezték Kr. e. 1800 körül). A Rhind-papirusz bevezetőjében a tartalomról ezt olvassuk: "szabályok a természetbe való behatoláshoz, és minden létezőnek, mindenféle misztériumnak... megismeréséhez." Ennek ellenére az előbb említett gyakorlati számításokat tartalmazza. [Van der Waerden, p. 28-32.] Egy részlete látható a 4. ábrán.

Az egyiptomi számrendszer ugyan decimális, de nincs helyértékrendszere. Műveleti gondolkodásuk az összeadáson és kettőzésen alapult. E két művelettel végzik el a szorzást, és az osztást is fordított szorzásként. Bonyolultnak tűnik, de e mikroalgoritmus hasonmását az elektronikus számítógépekben is megtalálhatjuk.

A sumer-babiloni számrendszer régebbi, mégis fejlettebb, mint az egyiptomi. A sumeroknak eredetileg decimális rendszerük volt. Ezt Kr. e. 3000 és 2800 között felváltották a hatvanassal; 2500 és 2000 között a hódító akkádok átvették, és a különböző babilóniai hódítók végig fenntartották. Ebben az időszakban nagy teljesítményeket értek el a csillagászatban (pl. a csillagok heliakus kelése, a csillag első, napfelkelte előtti megjelenésének megfigyelése), és megalkották a csillagok mozgásához igazodó naptárt is. (Ptolemaiosz Kr. u. 280-ban még a hatvanas számrendszert használta, és ehhez kapcsolódik időmérésünk mai formája is.) Feltehetjük a kérdést: mi az oka a hatvanas alapszámnak, és hogyan jutottak el idáig?

Az 5. ábra [Wussing, 1962. nyomán] az ősi és az új számjegyeket mutatja. A felső sorban még a Kr. e. 3000 előtti, az alsóban a klasszikus babiloni számjelek láthatók. A felsőket kerekített, az alsókat prizma alakú vesszővel nyomták az agyagba. A 10-es és a 60-as csoporthatár nyilvánvaló. Feltételezhető, hogy kezdetben a tízes a szóbeli, a hatvanas az írásos számolás értékhatára. A 602 egy ékkoszorú, ezekből konstruálják a többit. Így rendkívül erős lerövidítést érnek el.

A következő eredmény a helyértékrendszer kialakítása vagy átvétele volt.

A 6. ábra [Wussing nyomán] két különböző fázist mutat: felül a halmazos, alul a lineáris formát, amikor a jelek sorrendje információhordozóvá válik. Ez is egyfajta leképezés (transzformáció), a számértékek hierarchikus szerkezetének leképezése az írott sorok szintjén. A helyértékrendszernek az a funkciója, hogy lehetővé teszi röviden leírni a nagy számokat. A problémalátás és ezzel párhuzamosan a kifejezésére szolgáló eszközök leegyszerűsítése a kognitív folyamatok eredménye, egyben jelentősen hozzájárul a megismerő tevékenység és képesség növekedéséhez - értékeli Klix.

Hiányzik még a semmi kifejezése. Sokféle megoldással próbálkoztak az évszázadok alatt. Végül Kr. e. 700 körül az üres hely jelölésére külön jegyet vezettek be (két kicsi ék egymás felett) a nulla funkcióra, de a bizonytalanságot még mutatja, hogy a szám végén nem teszik ki.

Megoldották a törtszámok jelölését és a velük való műveleteket is. Ez azért fontos, mert a mérés tulajdonképpen osztás, amikor mindig egy adott egység többszörösének vagy tört részének meghatározásáról van szó. A hatvanas rendszer itt kifejezetten előnyös, hiszen a legtöbb osztója van a száz alatti számok között (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30). A törtek kifejezésére reciprok táblázatokat készítettek, és jelölésükre egy űrmérték jelét használták. Az osztást ezután a számláló és a nevező reciprok értékének szorzásával oldották meg.

A "jó jelölésrendszer és a négy alapművelet kényelmes kezelési módja elengedhetetlen feltétele a matematika fejlődésének" - írja Van der Waerden [I. m. p. 61.]. A babiloniak rendszere eleget tett ennek a "feltételnek".

Meg tudtak oldani két- és többismeretlenes első- és másodfokú egyenletrendszereket. Ismerniük kellett a Pitagorasz-tételt. Erre példa egy óbabiloni szövegből: "Egy (függőleges) palú (gerenda, palló?) 0; 30 hosszú. Fentről 0; 6-tal lecsúszott. Mennyivel tolódott el lent?" A megoldás azonos azzal, amire a görög matematikusok jutottak. Leírnak pitagoraszi számhármasokat, vannak négyzet- és köbgyöktáblázataik. Emellett vannak "ideológiai eredetű" hibáik is: az év 360 napból áll, a đ értéke csak 3. (Az egyiptomiak 3,16-ig jutottak el.)

Két példával jellemezzük végül a babiloni matematika erejét. Az első: a 7. ábra [Wussing nyomán] egy földterület felosztási vázlatát mutatja az egyes részek adataival. Megragadó az ábrázolás egyszerűsége.

A második a názáreti Jézus születési éve és a babiloni csillagászat kapcsolatáról szól. Lukács evangéliumában azt mondják a keleti bölcsek: "Hol van a zsidók királya? Láttuk (felkelő) csillagát napkeleten, és eljöttünk, hogy hódoljunk neki." Kepler 1500 évvel később felveti, hogy Kr. e. 7-ben a Jupiter és a Szaturnusz háromszor találkozott a Halak csillagképében: május végén, szeptember végén és decemberben. (Háromszoros találkozóra 258 évenként kerül sor, ugyanabban a csillagképben csak minden 794. évben.) 1925-ben Paul Schnabel megfejtett egy Berlinben lévő babiloni táblát, amely az Eufrátesz melletti Szippár csillagvizsgálójából származott, és amelyen előre meg vannak jelölve a Kr. e. 7-re várható fontosabb csillagászati események, köztük az említett együttállások is. (Szippárban élt Kr. e. 320 körül Kiddinu babiloni csillagász, akinek a nap órákra való beosztását köszönhetjük.) Ezen a táblán találhatjuk az év csillagászati "szenzációját". (Sok ilyen év feljegyzései ismertek már. A British Múzeumban található az év elejére vonatkozó tábla.) Jupiter a világ uralkodójának csillaga, a Szaturnusz a babiloniaknál Szíria, hellenista értelmezés szerint a zsidók csillaga - a napkeleti bölcsek (asztrológusok) kérdése tehát jogosnak látszik. [Kroll, p. 85-93.]

Néhány következtetés

A vázolt hosszú történelmi út alapján megfogalmazhatunk néhány következtetést.

  • Az ember biológiai felépítésének alapján és szükségleteitől is vezérelve létrejöttek mindazok a kognitív, gondolkozásbéli módszerek és fogalmi eszközök, amelyek ma is az információtudomány részét képezik.
  • Az egyed élettani fejlődését meggyorsították a közösségi élet igényei, a kommunikáció, az általa előidézett közösségi ismeretátadási, ismeretszerzési folyamat.
  • A gondolkozás leglényegesebb elemévé vált a hasonlóságok, analógiák, időbeni viszonyok és szerkezeti kapcsolatok (rendezés, leképezés, következményes kapcsolatok) - közös szóval relációk - megfigyelése, tárolása, továbbadása. Jogosnak tűnik azt mondani, hogy a világ megkülönböztethető elemeinek számbavételén túl, ismereteink az ezen elemek között fennálló relációkkal fejezhetők ki.
  • Fontos az a tapasztalat is, hogy az érzékelt és megfigyelt világ mennyiségi és bonyolultsági bővülésével párhuzamosan a kognitív teljesítmények is az információszűrésre, az egyszerűsítésre irányulnak. Az absztrakció mint szűrés és egyszerűsítés áll elő, az absztrakt fogalmak elvontsága azonban idővel megszűnik, ismét konkréttá válnak, és ma már csak alapos elemzéssel bontható ki (ha egyáltalán kibontható) egy-egy fogalomba sűrített ismeret mennyisége.
  • A számfogalom, a számírás - a most nem tárgyalt írással együtt - információtárolási technika. Az algebrai műveletekben kifejeződő feldolgozási módszerek fejlődése az időszámítás kezdete előtt ezer évvel egy olyan absztrakciós szintre jutott el, amely lehetővé tette egy újabb lépés megtételét, amikor a vizsgálat tárgya maga az absztrakt szám, szimbólum és kijelentés. Ez már a görög matematika és filozófia kora.

Beérkezett: 2001. III. 22-én.


Irodalom

ASIMOV, Isaac: A Hold tragédiája. Kozmosz könyvek, Budapest, 1979.
BERLYNE, D. E.: Structure and direction in thinking. New York: Wiley, 1965.
BIRKET-SMITH, Kay: A kultúra ösvényei. Gondolat, Budapest, 1969.
CSÁNYI Vilmos: A kultúra és a nyelv kialakulása az emberi evolúcióban: egy etológiai rekonstrukció. = A kognitív szemlélet és a nyelv kutatása. Szerk.: Pléh Csaba és Győri Miklós. 165 p. Pólya kiadó, Budapest, 1998.
FÉNYES Imre: A fizika eredete. Kossuth, Budapest, 1980.
FILEP László-BEREZNAI Gyula: A számírás története. Filum, 1999.
FROBENIUS, Leo: Afrikai kultúrák. Gondolat, Budapest, 1981.
KALLA Gábor: Az információtárolás és -átadás korai technikái Mezopotámiában. Világtörténet. 1996. ősz-tél.
KLIX, Friedhart: Az ébredő gondolkodás. Az emberi intelligencia fejlődéstörténete. Gondolat, Budapest, 1985.
KROLL, Gerhard: Jézus nyomában. Szent István Társulat, Budapest, 1982.
MENNINGER, K.: Zahlwort und Ziffer. Göttingen, 1958.
PIAGET, Jean: Válogatott tanulmányok. Gondolat, Budapest, 1969. Matematikai struktúrák és az értelem műveleti struktúrái. p. 198-224.; Sorszámozás és számszerű értékelés. p. 225-274.
PINKER, Steven: A nyelvi ösztön. Tipotex, 1999.
SCARUFFI, Piero: Thinking About Thought (cognitio). http://www.thymos.com/tat/cognitio.html
SIMONYI Károly: A fizika kultúrtörténete. Gondolat, Budapest, 1978.
VAN DER WAERDEN, B. L.: Egy tudomány ébredése. Gondolat, Budapest, 1977.
WUSSING, H.: Mathematik in der Antike. Lipcse, 1962.

Nyomtatható verzió